証明

点つき型 XX が (n−1)(n-1) 連結であり、n≥1n \geq 1 とする。任意のアーベル群 AA について

πn(X)ab⊗A≅H~n(X;A)\pi_n(X)^{\mathrm{ab}} \otimes A \cong \tilde H_n(X;A)

を示す。n≥2n \geq 2 なら πn(X)\pi_n(X) はアーベル群であるため、アーベル化は n=1n=1 の場合だけに関係する。

アーベル群 AA に対して、アイレンベルク-マクレーン・スペクトラムを HAHA と書く。第 ii 成分は K(A,i)K(A,i) である。XX の AA 係数被約ホモロジーを

H~n(X;A)≔πns(X∧HA)\tilde H_n(X;A) \coloneqq \pi^s_n(X \wedge HA)

で定義する。右辺は、列

πn+i(X∧K(A,i))\pi_{n+i}(X \wedge K(A,i))

の安定化写像に関する余極限である。

K(A,i)K(A,i) は i≥1i \geq 1 で (i−1)(i-1) 連結である。スマッシュ積の連結性から、X∧K(A,i)X \wedge K(A,i) の連結性は安定化写像

πn+i(X∧K(A,i))⟶πn+i+1(X∧K(A,i+1))\pi_{n+i}(X \wedge K(A,i)) \longrightarrow \pi_{n+i+1}(X \wedge K(A,i+1))

が同型になるために十分である。よって、被約ホモロジーを定義する余極限は次の項で計算される。

H~n(X;A)≅πn+1(X∧K(A,1))\tilde H_n(X;A) \cong \pi_{n+1}(X \wedge K(A,1))

次に、スマッシュ積の最低次ホモトピー群に関する同型を用いる。XX は (n−1)(n-1) 連結であり、K(A,1)K(A,1) は連結で、π1(K(A,1))≅A\pi_1(K(A,1)) \cong A を満たす。したがって

πn+1(X∧K(A,1))≅πn(X)ab⊗A\pi_{n+1}(X \wedge K(A,1)) \cong \pi_n(X)^{\mathrm{ab}} \otimes A

が成り立つ。

以上を合成して

H~n(X;A)≅πn+1(X∧K(A,1))≅πn(X)ab⊗A\tilde H_n(X;A) \cong \pi_{n+1}(X \wedge K(A,1)) \cong \pi_n(X)^{\mathrm{ab}} \otimes A

を得る。

特に A=ZA=\mathbb Z とすれば、

πn(X)ab≅H~n(X;Z)\pi_n(X)^{\mathrm{ab}} \cong \tilde H_n(X;\mathbb Z)

である。□\square